ВведениеКристаллизация сахара – это нелинейный,нестационарный процесс. От количестварастворенной сахарозы зависит либо дальнейшеерастворение твердой фазы, либо ее рост. Сахароза вненасыщенном ею растворе продолжает растворяться,а в пересыщенном – расти [1]. В поликомпонентномпроизводственном растворе растворенную сахарозуможно условно разделить на две части. Перваясоединена с водой, а вторая связана с несахарами.Многочисленными исследованиями установлено,что относительно небольшая концентрациянесахаров в поликомпонентной жидкой фазе снижаетрастворимость сахарозы, а их высокая концентрациярезко увеличивает коэффициент ее раствори-мости [1–3]. Предполагается, что в поликомпо-нентном сахарном растворе образуется сложноенеустойчивое химическое соединение из сахара (СХ),несахара (НСХ) и воды (H2O):2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн у М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M    1– 1 у у у мн мн мн М СV  Q  M CV  Q   . . у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV   CV  M  CV  M M, Mсх, 1 2 1 2 КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В K dm K K K K K K K K d F          (1)где m, n, k – стехиометрические коэффициенты; 2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . у кр н М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M     1– 1 у у у мн мн мн М СV  Q  M CV  Q  M   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, ,) kHOH (1) о K , р Kгде D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,2 32П П ННl     , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ( ) мк мк мк нсх в кр к M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  M         1– 1– 1– М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   M  M  M K  K K− скорости реакций образования и разложениянеустойчивого вещества.В разбавленном поликомпонентном растворереакция сдвинута вправо, в пересыщенном – влево,в насыщенном растворе система находится вравновесном состоянии. Эта гипотеза являетсяосновной при объяснении происхождения мелассы [1].Зарождение и рост кристаллической фазы безразрыва межмолекулярных водородных связей междусахарозой и водой невозможны. В лабораторныхкристаллах сахара, которые получены принезначительных пересыщениях из чистых растворов,вода отсутствует. Но при получении товарногосахара из производственных поликомпонентныхрастворов некоторые молекулы воды (0,04 ± 0,15 %к массе сахарозы) попадают в твердую фазу,предположительно с неупорядоченными сахарнымиассоциатами. В статье I. Z. Maria показано, что дляроста кристаллической фазы необходим разрывопределенного количества молекулярных связеймежду сахарозой и водой в растворе и переходна новый энергетический уровень молекулсахара [2]. Определенную роль в образованиикристаллической фазы играют явления флуктуации.Благодаря им повышается энергия активации частисталкивающихся молекул. Они могут выходить3 K.G. Razumovsky Moscow State University of Technologies and Management , Moscow, RussiaReceived: November 25, 2020 Accepted: X X, 2021*е-mail: arapovdv@gmail.com© D.V. Arapov, V.A. Kuritsyn, S.M. Petrov, N.M. Podgornova, M.A. Zaytseva, 2021Abstract.Introduction. The present research featured industrial sugar crystallization. The article introduces a generalized mathematical modelof specific growth rate of sugar crystals depending on temperature, solids, and the purity of solution, as well as on the concentrationand average size of crystals. The model includes the probabilistic component of growth rate of monocrystals and the reducedadjustment of the constrained crystal growth depending on the abovementioned as-pects.Study objects and methods. The research focused on mass crystallization of sucrose, including the growth rate of monocrystals andthe number of crystals in the fill mass. The obtained experimental data were processed using nonlinear programming.Results and discussion. 421 experiments made it possible to develop a probabilistic mathematical model of specific mass growth rateof sugar monocrystals and its dependence on the solution temperature, purity, and solids content. Model error: ± 11.3%. The modelcovers the temperature range, concentration of solids, and purity of the solution. The proximity of crystals was calculated according tothe dependence of the growth rate on their concentration and the average size (error: ± 1.3%). The adjustment range: concentration ofcrystals = 5–60%, average size = 0.25–1.50 mm.Conclusion. The present generalized mathematical model of crystallization considered the temperature, as well as the purity and solidscontent in the fill mass, the concentration of sucrose crystals and their average size. The research compared the effect of linear sizeand concentration of sugar monocrystals on the calculated and experimental sizes of specific mass growth rate and the dimensionlessadjustment of growth rate. The calculated sizes proved to be close to the ex-perimental data, which showed adequacy to the developedcrystallization model. The research results can be used to optimize the process of mass sugar crystallization.Keywords. Sugar, solubility, crystallization, growth rateFunding. The research was performed on the premises of the Department of Higher Mathematics and Information Technologies,Voronezh State University of Engineering Technologies (VSUET) .For citation: Arapov DV, Kuritsyn VA, Petrov SM, Podgornova NM, Zaytseva MA. Specific Mass Growth Rate of Sugar Crystals:Probabilistic Modeling. Food Processing: Techniques and Technology. 2021;51(1):39–52. (In Russ.). https://doi.org/10.21603/2074-9414-2021-1-39-52.41Арапов Д. В. [и др.] Техника и технология пищевых производств. 2021. Т. 51. № 1 С. 39–52из потенциальной ямы, преодолев энергетическийбарьер. При столкновениях сахарозных частиц могутобразовываться ассоциаты: n 1 n A A A −+ ←→ [3]. Причисле молекул в ассоциате 80–10 и размере около 2 нмон становится зародышем и в дальнейшем можетслужить центром отложения сахарозных молекул.Выявлено нестационарное автокалитическоеобразование зародышей сахарных кристаллов,преобладание вторичного зародышеобразованияна конечной стадии роста твердой фазы, прямопропорциональная зависимость от температурыкак приращения кристаллической массы, так изародышеобразования, но с преобладанием скоростиприращения твердой фазы [4]. Состав твердойфазы при массовой кристаллизации сахара зависитот одновременно протекающих процессов ростакристаллов, образования зародышей, их растворения,агрегации и коагуляции ассоциатов, включенийматочного раствора и воды в кристаллы [4]. Среднийразмер кристаллов зависит от пересыщения.При высоких пересыщениях наблюдаетсяактивное «склеивание» кристаллов в агрегаты, априроста кристаллической массы практически непроисходит. Более мелкие кристаллы твердой фазыобразуются при перемешивании поликомпонентногораствора, которое немного снижает воздействиепересыщения [1, 3].Изучено отрицательное воздействие примесей наприращение кристаллической фазы [5, 6]. Примесьвнедряется в кристаллическую решетку, снижаетскорость роста твердой фазы, нарушает габитускристалла с образованием дефектов кристаллическойрешетки. В центре кристалла откладывается 80 %посторонних включений несахаров [5, 6]. Твердаяфаза, которая образуется при самопроизвольнойкристаллизации, практически не имеет постороннихвключений. Установлено, что отложение несахаровв кристаллической фазе обусловлено их высокойположительной гидратацией [7].Известно четыре основных теорий кристал-лизации: диффузионная, молекулярно-кинетическая,термодинамическая и дислокационная, описывающиекак непрерывный (диффузионная), так и дискретный(остальные теории) рост твердой фазы [3, 8, 9].Теория диффузионного роста описана в [3, 4,10–14]. Согласно ей кристаллизация реализуется засчет межфазного обмена и заключается в диффузиик твердой фазе растворенных сахарозных молекул, ихадсорбции на кристалле с одновременным разрывомводородной связи сахароза–вода и образованиемдвумерной частицы, поверхностной диффузиидвумерных зародышей и последующего вхожденияих в кристаллическую 2решетку [3–5, 12, 13]: ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ V V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн у М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M    1– 1 у у у мн мн М СV  Q  M CV    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, 1 2 1 2 КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ K dm K K K K K K K K d F        (2)где D V и2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V K где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . у кр н мн М М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  CV Q  M  M  M     1– 1 у у у мн мн мн мк М СV  Q  M CV  Q  M CV   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, − скорость роста, определяемаядиффузионной и кристаллохимической компонента-ми соответственно, кг/м2·с; D k и2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , . у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q M  M CV Q   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M у М в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K KK   где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С 2 2 15 2 16 2 exp 9,80665 273,15П П НDНk T Q СV Т                        2,5 6 0,75 24 24 25 26 27 28 29 exp 1 ЗХ k Q T T                   , 1 8  ,...,        11 0,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T             22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 ПC Z Z Z Z T                  2 10 2,6exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z Z 187,1981 exp 0,04857 10 0,9929 Н к Н к Н к Н к Нк нC Z Z Z NT Z N                         2 4 2 5 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N t Z                    2 3 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 отн об об об об кр кр кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a       8 1,775 1,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1 0,01 ;CV t CV CV                − коэффициентыкомпонент скорости роста, м/с; V C ,2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q M  M CV Q    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  1– у М  в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K2 2 КР D КХ K k k   где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;k2 2 15 2 16 2 exp 9,80665 273,15П П НDНk T Q СV Т                         2,5 6 0,75 2 24 24 25 26 27 28 29 exp 1 ЗХ k Q T T T                   , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T             22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563ПC Z Z Z Z T                  2 10 2,6exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z Z 187,1981 exp 0,04857 10 0,9929 Н к Н к Н к к Н к Нк нC Z Z Z NT Z N                            2 4 2 5 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N t Z                     2 3 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a отн об об об об кр кр кр кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l       8 1,775 1,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1 0,01 ;CV t CV CV                ,2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q M  M CV Q  M   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  1– у М  в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K2 2 КР D КХ K k k     где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;1 k2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 273,15П П НDНk T Q СV Т                          2,5 6 0,75 2 24 24 25 26 27 28 29 exp 1 ЗХ k Q T T T                   , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T             22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563ПC Z Z Z Z T                  2 10 2,6exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z Z 187,1981 exp 0,04857 10 0,9929 Н к Н к Н к Нк Н к Нк нC Z Z Z NT Z N                            2 4 2 5 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N t Z                     2 3 2 3 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a отн об об об об кр кр кр кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l        8 1,775 1,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1 0,01 ;CV t CV CV                − плотностьв объеме раствора на границе твердой и жидкой фазыи насыщенного раствора, кг/м3; n = 2 − порядокреакции (кажущийся) [8, 9, 13]. Иногда считают, чтоn = 1 (3)D VÊDÕ K V = V = Vгде K V − массовая скорость роста твердой фазы [3,11, 14].Установлено, что некоторая часть растворенноговещества из-за постоянного движения границыраздела фаз захватывается твердой фазойнепосредственно из пограничной зоны без участиядиффузии [9].Полное время реакции роста кристаллическойфазы зависит от скоростей диффузиив объеме раствора и на поверхноститвердой фазы, а также времени вхождениядвумерного зародыша в кристалл [13].Невысокая скорость роста твердой фазынаблюдается при небольшом пересыщении раствора.Определяющей стадией в этом случае служитреагирование сахарозных молекул с поверхностью.С увеличением пересыщения раствора увеличиваетсязначимость процесса диффузии и он становитсяопределяющим.Основанная на диффузионном механизмедетерминированная математическая модель дляописания удельной массовой скорости ростасахарных кристаллов приведена в [8]: о K , р KКХ кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,П НН где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ( ) мк мк нсх в кр к Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M . кр к        . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K Kэксi K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2)П Н С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           4;П НН    51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N  82 728 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T k Q                       где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,..., 13expНСХ N     15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 211636,2711 9,025630,9882 Z ZT T Z N         2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5)213780,2866Z / 11,4785к НT Z   (4)гдео , р Kкг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,НН , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ( ) мк нсх в кр к Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  CV  Q  M CV  Q  M. к         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2)Н С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           4;НН    51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N  82 729 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T k Q                      где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,..., 13expНСХ N   15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 211636,2711 9,025630,9882 Z ZT T Z N          2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5)− удельная скорость роста, кг/м2·с;) ( ) ( ) m n kCX HCX HOH (1) о K , р K nКХ Р Н C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    КР D П Н Р П K dm k С С k С d F      моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. . ( ) мн кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  . мк мк нсх кр к  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M K    2min,экс АAрас , эксi i K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C С C k С С C Ck С C С C k С C C K                                           В  K(2)9 П Н   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                          2 42 9,80665 ;273,15П П ННСV Т          51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   19 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T   N    86 0,75 2 726 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ Q T T T k Q                               где 1 2 , D D K K 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н         11 130,0275exp 0,3761 expexp /НСХ N N NN  T         15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 2210 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z Z ZZ T T Z N              2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     ,V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,16 3 ШэквV     мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. кр к         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M     . 1– мн мк мк в кр к CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K             121 2 1 1 1 1exp 6,45 23 1 2 4 223 6 3 7expexp / expexp exp expКХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DН Н КХ Н ПЗХ РЗ Н Н Н НСХK K K K K K k C CC k С С C Ck С C k С C C K                                  В  K(2)  32,61412 2 13 1,788 0,6832 Н Н / ;Т N Z                    2 17 18 exp , КХ П П   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N832 Н exp Н ,Q               где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,НСХ     15 1,8510 1 0,27007 1 1 5,31 . CV CV Q T           П C , Н C    2 13 10 2,6314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;Z N          (5)− концентрации растворов (пересыщенного инасыщенного), моль/кг.Недостаток модели заключается в том, чтоона не отображает вероятностный характер ростатвердой фазы. B. Bubnik и его соавторы наблюдалидиффузионный механизм роста при температурахраствора больше 60 °C, а смешанный механизм приболее низких температурах [10].Однако в рамках диффузионной теориинеобъяснимы экспериментально установленныемногими исследователями моменты:1) константа скорости реакции Kкх является функциейот размера кристалла и изменяется при переходе отодной грани к другой [1, 9];2) при определенных условиях, которые устанавли-ваются в процессе массовой кристаллизации, дисло-кационный механизм роста проявляется всегда [9];3) коэффициент диффузионного переноса изменяетсяпо поверхности грани [9, 12];4) минимальная концентрация вещества определяетсяв центре грани, а максимальная на ее углах [9, 12];42Arapov D.V. et al. Food Processing: Techniques and Technology, 2021, vol. 51, no. 1, pp. 39–525) отложение слоев на кристаллических граняхреализуется дискретными порциями [9, 10];6) кристаллы, размер которых меньше 50 мкм, растутпри коэффициенте пересыщения ˃ 1,038 и только засчет поверхностной реакции [15].В книге J. W. Mullin выдвинуто предположение осовместной одновременной реализации молекулярно-диффузионного, послойного и блокового ростакристаллической фазы, который достаточнохорошо определяется при высоких коэффициентахпересыщения [9].При математическом описании процесса кристал-лизации рассматривают скорость наращиваниякристаллической массы (массовую скорость) илилинейную скорость роста одиночного кристаллалибо множества кристаллов [3, 5, 8, 11, 16–21]. Всвоей работе Я. Грабка привел базовые кинетическиезависимости между средним линейным размеромпромышленного кристалла, его массой, площадьюповерхности и количеством кристаллов в 1 кг [18].Достаточно точная (погрешность ± 4,6 %)многопараметрическая регрессионная модель дляоценки размера промышленного сахарного кристаллаописана в [19]. В статье Y. Meng с соавторамипредставлена гибридная математическая модельпроцесса кристаллизации тростникового сахара,используемая для управления и позволяющаяпрогнозировать пересыщение маточного раствора,его чистоту, содержание кристаллов и основныепараметры распределения кристаллов по разме-рам [20]. Модель описана системойдифференциальных, интегральных и алгебраическихуравнений баланса веществ утфеля, тепловогобаланса, моментов распределения. Динамическаямодель, использующая программное обеспечение(ПО) SysCAD, разработана для имитации работывакуум-аппарата периодического действия иотображает зависимость пересыщения маточногораствора от скорости испарения воды при обогревеаппарата паром низкого давления [21]. Имитационнаямодель процесса уваривания сахарного утфеля, вкоторой установлена взаимосвязь между основнымитехнологическими параметрами, описана в [22].В работе B. J. C. de Castro и др. с использованиемПО EMSO разработана феноменологическаямодель, позволяющая определять концентрациюкристаллов в утфеле, чистоту мелассы и утфеляи распределение кристаллов по размерам [23].Отмечается, что стоимость ПО EMSO составляетзначительную часть производственных затрат.Управление работой вакуум-аппарата в пределахширины метастабильной зоны с использованиеммеханистических кинетических моделей реализованов [24]. Отмечается существенное улучшениегранулометрического состава сахарного песка.Основная трудность в изучении роста кристалловв промышленном производстве заключается вотсутствии инструментов для непосредственногоизмерения определяющих параметров процес-са [25]. Инструменты SeedMaster, разработанныеK-Patents Oy, позволили реализовать непосредствен-ное измерение перенасыщения, концентрациикристаллов и чистоты межкристального раствора[25, 26]. Учет этих измерений позволил разработатьмногопараметрическую модель линейной скоростироста сахарных кристаллов модульного типа.Посредством системы дифференциальных уравненийизменения размера кристалла, концентрациикристаллов в утфеле и моментов случайной величины(размера кристаллов) моделируется процесскристаллизации сахаристых веществ [27–29]. В работеV. Myronchuk с соавторами на основе материальногобаланса по сахарозе, несахарам, сухим веществам иводе, а также полиномиальной модели растворимостисахарозы в нечистых растворах рассчитываетсякристаллизация сахарозы при охлаждении [30].Получено экспериментальное распределениекристаллов желтого сахара по размерам в результатеполитермической кристаллизации в системевертикального и горизонтального аппаратов.Изменение фазового состояния пересыщенногосахарного раствора осуществляется путем зарожденияи роста сахарных кристаллов. В кристаллизующейсясистеме различают гомогенное образованиекристаллических зародышей (образование «муки») игетерогенный рост кристаллов вокруг искусственновведенных и гомогенно образовавшихся зароды-шей [31–33]. Для зарождения кристаллов могутэффективно использоваться ультразвуковыеволны [34]. Отмечается существенное улучшениегранулометрического состава кристаллическогосахара по сравнению с затравкой пудрой или пастой.Скорость массовой кристаллизации сахарозы встесненных промышленных условиях в большойстепени зависит от среднего линейного размеракристаллов (lкр) и их концентрации в утфеле (ϕ ).Это установлено экспериментально и выявленотеоретически [1, 3, 9, 10, 35–37]. Однако этотвопрос находится на стадии изучения. С помощьюметода искусственных утфелей детальныеэкспериментальные исследования данного вопросапровели украинские ученые [36]. Но полученныерезультаты использовать в промышленномпроизводстве затруднительно, ввиду того чтоавторы не смогли получить математическую модель,описывающую зависимость скорости кристаллизацииот этих характеристик.Анализ литературных источников позволяетсделать вывод, что процесс промышленнойкристаллизации сахара-песка имеет вероятностныйхарактер. В нем в кристаллы, кроме отдельныхмолекул сахарозы, могут встраиваться в ассоциаты43Арапов Д. В. [и др.] Техника и технология пищевых производств. 2021. Т. 51. № 1 С. 39–52этих молекул, молекулы и ионы воды и несахаров,присутствующие в маточном растворе.Целью работы является разработка вероятностнойматематической модели, позволяющей описатьудельную массовую скорость роста твердой фазы сучетом температуры поликомпонентного раствора,концентрации в нем сухих веществ и сахара,содержания кристаллов и их среднего линейногоразмера.Объекты и методы исследованияВычислительные эксперименты проводилисьв ФГБОУ ВО «Воронежский государственныйуниверситет инженерных технологий» на кафедревысшей математики и информационных технологий.Экспериментальной основой вероятностноймодели удельной скорости роста сахарных кристалловстали выполненные за последние 70–80 летобширные исследования (421 опыт), опубликованныеизвестными учеными: А. Бригель-Мюллером,Г. Вавринцем, И. А. Кухаренко, А. А. Герасименкои П. В. Головиным, Ю. М. Жвирблянским,М. И. Нахмановичем и И. Ф. Зеликманом,А. Ван-Гуком и другими. Данные исследованияотличаются методиками: пересыщенный чистыйили поликомпонентный раствор находился какв статическом, так и в динамическом состоянии;прирост кристаллов измеряли путем взвешиванияпробы с высокой точностью на аналитических весахразной конструкции [5, 8]. Для моделированиянами отбирались только те опыты, авторыкоторых исследовали зависимость удельноймассовой скорости роста Kкр от температуры,концентрации сухих веществ и доброкачественностипересыщенного раствора. При кристаллизацииу поверхности образца образуются восходящиеконцентрационные потоки (рис. 1).Критерий Архимеда при восходящих потокахравен:2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n knHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D V Р k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V КР K dm d F    кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d       мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к М М М М  М. . ( ) у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M      1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q   . . у мн мн кр н мк мк нсх кр к  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм  M  м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н K dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             П 8 Н  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ; 32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           2 415 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П ННT Q СV Т                    51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2 19 20 21 exp П R   Q  Q       82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,РЗ Q T T T k Q                                     где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K 8         11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T                15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 1,1107 Z Z   2 Z    (5)где( ) ( ) n kHCX HOH (1) о K , р KnР Н C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V VV , где K V    КР D П Н Р П K dm k С С k С Сd F      / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. . ( ) мн кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  . мк мк нсх кр к CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр K  K  2min, Арас , эксi i K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2)П Н С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                        2 42 9,80665 ;273,15П П ННТ         51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R 3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T   N   86 0,75 2 726 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T T k Q                              где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1         130,0275exp 0,3761 expНСХ N N N N        15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ             П C , Н C,( ) ( ) m n kHCX HOH (1) о K , р KnР Н C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    КР D П Н Р П K dm k С С k С d F      моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. . ( ) мн кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  . мк мк нсх кр к M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр K  K  2min, АAрас , эксi i K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2)9 П Н  С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                              2 42 9,80665 ;273,15П П ННТ         51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R   3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T   N   86 0,75 2 726 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T T k Q                               где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н          130,0275exp 0,3761 expНСХ N N N N        15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ             П C , Н C– плотность пересыщенного инасыщенного раствора; μ – вязкость динамическаянасыщенного раствора; g – ускорение свободногопадения.Характерный размер кристалла l определяетсячерез диаметр эквивалентного кристаллу шара2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :6 Шэквl d V      . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M у М СV   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M     1– 1– у у мн мн мк М  СV  M  CV  M в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K      1 2 1 2 2 3 22 2 5 2 exp exp exp КР D D КХ D П П Н КХ ЗХ K dm K K K K d Fk C C С C k С C k С                     где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;2 1 10 11 12 Н Н Dk                    2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т 2 17 КХ k   Q      2,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 exp 1 ; Н ЗХ РЗ k Q T T T k Q                                 , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T             15 0,1757875 10 1 ВK CV Q        22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N              314,578         22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z Z NT Z N N                                  2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N N t N t Z                           2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8) об        8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV CV CV                      :2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . у кр н М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M     1– 1 у у у мн мн мн М СV  Q  M CV  Q    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K             121 2 1 2 1 exp 6,45 2 2 3 1 2 22 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н K dm K K KK K K K K k d Fk C C С C k С С C k С C k С C k С                                      где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  19 exp П R        82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,ЗХ РЗ k Q T T T k Q                                      где 1 2 , D D K K , K , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T                15 0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 ВK CV CV Q Q             22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N                 2 314,578 exp 1,0509 Z T Z N                     22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                               (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                           об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9)          8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CV                       м  кр  кр l(6)Объектом исследования был выбранпроцесс массовой кристаллизации сахара наоснове производственных и искусственныхутфелей (28 экспериментов) [35, 36]. В опытахИ. К. Поперека и Ю. Д. Кота в качестве основытвердой фазы использовались сахарозные кристаллы.Размер кристаллов составил 0,25, 0,50, 1,00 и1,50 мм, массовое содержание в утфеле 20–55 %.Температура в опытах снижалась за два часа спостоянной скоростью 10 °C/ч от 60 до 40 °C [36].Массу кристаллической фазы после опытаопределяли взвешиванием. Условия кристаллизациив опытах: пересыщение, скорость перемешивания,продолжительность опытов и перепад температурбыли одинаковы. Изменялось масса твердой фазыотносительно общего объема двухфазной системы.Аналогичные эксперименты с поликомпо-нентными сахарными растворами выполнилколлектив исследователей под руководствомЮ. М. Жвирблянского [35]. В их опытах содержаниекристаллов в поликомпонентном пересыщенномрастворе изменялось в диапазоне 5–45 мас. %. Вобеих сериях экспериментов, которые дополняютдруг друга, получены гладкие функциональныезависимости скорости роста твердой фазы от массовойконцентрации кристаллов в диапазоне 5–60 мас. %.Было установлено монотонное уменьшение скоростикристаллизации при увеличении содержания твердойфазы. Выявленная гладкость и непрерывностьпозволяет экстраполировать экспериментыдо концентрации твердой фазы 5 и 60 мас. %соответственно [36]. Таким способом установилимаксимальную и минимальную скорости ростатвердой фазы [36]. Максимальная скорость равна1085 мг/(м2·мин) для ÌϕМ = 5 мас. %, 1,5 êð l кр = 1,5 мм.Эта величина подтверждается А. И. Требиным ссоавторами, которые исследовали скорость ростаодиночного кристалла [37]. Они установили скоростьроста равную 1100 мг/(м2·мин) при таких жепараметрах эксперимента, как и в [36].Таким образом, скорость кристаллизациимножества кристаллов, содержащегося в сахарномрастворе в количестве 5 мас. % и менее, практическиравна скорости роста одиночного кристалла приодинаковых условиях роста. Этот вывод не входит впротиворечие с теоретическими представлениями оскорости роста твердой фазы в стесненных условиях[1, 3, 9–11].Рисунок 1. Схема проведения опытов при кристаллизациисахарозы: 1 – кристалл; 2 – нить; 3 – сосуд с пересыщеннымраствором; 4 – восходящие концентрационные потокиFigure 1. Scheme of experiments with sucrose crystallization:1 – crystal; 2 – thread; 3 – vessel with supersaturated solution;4 – ascending concentration flows44Arapov D.V. et al. Food Processing: Techniques and Technology, 2021, vol. 51, no. 1, pp. 39–52Влияние стесненности кристаллов в утфелена скорость кристаллизации может быть описанобезразмерной относительной скоростью роста, дляполучения которой разделили данные опытов [36]и [35] на величину 1085 мг/(м2·мин). Получилизначения безразмерных относительных скоростейкристаллизации Kотн, представленных в таблице 1.В работе Y. Meng с соавторами приведена величинаKотн, которая равна 0,16 при объемной концентрациикристаллов в утфеле 60 %, но без указания ихсреднего размера [20]. Сравнение этой величины сданными таблицы 1 при 50–60 мас. % показывает ихтесную близость.Результаты и их обсуждениеВ [8, 30] описана математическая модельпроцесса массовой политермической кристаллизациисахарозы, включающая материальный и тепловойбаланс аппарата. Однако материальный баланс неучитывает стесненности кристаллов, включение вних из пересыщенных поликомпонентных растворовнесахаров и воды. С учетом этих явлений уравненияматериального баланса кристаллизатора запишутсяследующим образом:) kHOH (1) о K , р K, где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,2 32g П П ННl      , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ( ) мк мк мк нсх в кр к  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  . нсх кр к  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K Kmin,рас , эксi i K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2); 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           2 42 9,80665 ;П П НН        51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N   80,75 2 727 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T T k Q                          где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,   130,02750,3761 expНСХ N NT       15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 21,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z ZT T Z N           2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                   (5)  13 10 2,6131,0016 13780,2866Z / 11,47850,99510,04857 10 2,15 10 ;2,15 10к Нк НН к НT ZT Z NNN               (6) 4 2 2 2 24,0220, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg.N t N t N t            об 2 3 9 10 12  5 6 7 8 11 13 a a a / ;кр кр кр кр об кр кр  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4 1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)    1,775 34 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10t CV t          м  кр  кр l– общий баланс (7)2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q M  M CV Q    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  у М  в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K2 2 КР K k k   где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;2 2 15 2 16 2 exp 9,80665 273,15П П НDНk T Q СV Т                         2,5 6 0,75 24 24 25 26 27 28 29 exp 1 ЗХ k Q T T T                   , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T             22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563ПC Z Z Z Z T                  2 10 2,6exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z Z 187,1981 exp 0,04857 10 0,9929 Н к Н к Н к к Н к Нк нC Z Z Z NT Z N                           2 4 2 5 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N t Z                     2 3 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 отн об об об об кр кр кр кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l       8 1,775 1,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1 0,01 ;CV t CV CV               2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M   1– у у у М СV  Q    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M       1– 1– 1– у у мн мн мк мк М  СV  M  CV  M  CV  в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K       11 2 1 2 2 2 3 1 22 2 5 2 3 6 exp exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ D П П Н Н КХ КХ ЗХ K dm K K K K K K d Fk C C С C k k С C k С                             где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;2 1 10 11 12 2 13 1,788 Н Н Н DТ k                      2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т  2 17 exp КХ П k   QR        82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp ЗХ РЗ k Q T T T k Q                                     , 1 8  ,...,       11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T             15 0,1757875 10 1 0,27007 ВK CV Q         22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N               314,578 T Z             22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                               (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                           об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8) обм кр              8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CV                       м   –баланс по сахару (8)2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n knHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D V Р  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V КР D K dm k d F    КР кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин.Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. . ( ) у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M       1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q    . . у мн мн кр н мк мк нсх кр к СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм  M  M м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           2 415 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П ННT Q СV Т                    51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2 19 20 21 exp П R   Q  Q        82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,РЗ Q T T T k Q                                     где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K НСХ K 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T                15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C  22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z Z Z ZZ T T Z N                  2 10 2,6314,578 exp 0,0486 10 1,0509 Z NT Z N                       22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к Нк Н к Н к Нк Н к Нк Нк нZ Z T ZT Z NZ NT Z N N                            (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg4028 10 0, 438 / .кN t N t N t N t N tN t N t Z                       об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;об об об об кр кр кр кр кр об кр кр  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 1 1,1 10 15 кр t          8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 100,01 ;CV t t CV tCV CV                   м  кр  кр l) kHOH (1) о K , р Kгде D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,2 32g П П ННl      , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ( ) мк мк мк нсх в кр к  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  . нсх кр к M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K Kmin,рас , эксi i K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2)3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           2 42 9,80665 ;П П НН        51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N   80,75 2 727 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T k Q                          где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,  130,02750,3761 expНСХ N NT       15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 21,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z ZT T Z N           2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5)  213 10 2,6131,0016 13780,2866Z / 11,47850,99510,04857 10 2,15 10 ;2,15 10к Нк НН к НT ZT Z NNN             (6) 4 2 2 2 24,0220, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg.N t N t N t            об 2 3 9 10 12  5 6 7 8 11 13 a a a / ;кр кр кр кр об кр кр a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)    1,775 315,6377 0,006 1,58951 1,025 10t CV t          м  кр  кр l–баланс по несахарам (9)2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) K   D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П Ar l       . у у у мн мн мн кр н мк мк М СV Q M CV Q M  M CV   . у у мн мн кр н мк мк нсх кр М СV  M CV M  M CV  M  M в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K Kгде 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П C  С 2 2 15 2 16 2 exp 9,80665 273,15П П Dk T Q СV Т                       2,5 6 0,75 24 24 25 26 27 28 exp 1 ЗХ k Q T T                 , 1 8  ,...,      11 0,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N N N  T             2exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 ПC Z Z Z                2 exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z Z 187,1981 exp 0,04857 10 0,9929 Н к Н к Н к Н к Нк нC Z Z Z NT Z N                          2 4 5 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t Z                   2 3 2 0 1 2 3 4 5 6 7 отн об об об об кр кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a       8 1,775 1,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 1 0,01 ;CV t CV CV               2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; C где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       где П  , Н  Ш V :l d  . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M    1– 1– у у мн М  СV  M  CV в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K    1 2 2 2 2 2 5 2 exp exp КР D D D П П КХ K dm K K d Fk C C С k С C              где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;2 1 10 11 Н Dk             2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т k       2,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 exp 1 ; ЗХ РЗ k Q T T T k                         , 1 8  ,...,       11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ KN N N NN N  T           0,1757875 ВK Q     22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z                    22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к Н к Н к Нк Н к к Нк нZ Z T T Z Z NT Z N N                                  2 4 2 2 2 5 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N t N t Z                         2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a         8 1,775 1,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1 0,01 ;CV t t CV CV CV                    –баланс по сухим веществам (10)2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M   1– у у у мн М СV  Q  M CV   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M        1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр М  СV  M  CV  M  CV  M в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K         121 2 1 2 2 2 3 1 22 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ D П П Н Н КХ Н КХ ЗХ K dm K K K K K K K d Fk C C С C k С С k С C k С C                                 где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ; 2 141 10 11 12 2 13 1,788 Н Н Н / DТ kZ                         2 4215 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R       82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,ЗХ РЗ k Q T T T k Q                                      где , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T              15 0,1757875 10 1 0,27007 1 ВK CV CV Q           22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N               314,578 1,0509 Z T Z              22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                              (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                           об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)  100м кробм кр               8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CV                       м  кр  кр l2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n k nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V КР K dm d  КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к М М М М . . ( ) у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M      1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк М СV  Q  M CV  Q  M CV    . . у мн мн кр н мк мк нсх кр к СV  M CV M  M CV  M  M        . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм  M / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K               121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 2 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н K dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C                                             1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                            2 415 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П ННT Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 19 20 21 exp П R   Q        82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,РЗ Q T T T k Q                                      где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , K 8  ,...,       11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T                15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , C  22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z Z Z ZZ T T Z N                  2 314,578 exp 0,0486 10 1,0509 Z NT Z N                      22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к Нк Н к Н к Нк Н к Нк Нк нZ Z T ZT Z NZ NT Z N N                              (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg4028 10 0, 438 / .кN t N t N t N t N tN t N t Z                         об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 1 1,1 10 кр            8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 100,01 ;CV t t CV tCV CV                    м  кр  кр l–баланс по воде (11)где M, M сх, M нсх, M в, M у, M м – массовые расходыкристаллического и растворенного сахара, несахаров,воды, утфеля и мелассы, кг/с; Qу, Q м – чистотасубстанции (утфеля, мелассы), масс. доли; CVу, CVм– концентрация сухих веществ в утфеле, мелассе,масс. доли; индексы: «н» и «к» – начало и конецкристаллизации, «кр.» – твердая фаза.Величина выкристаллизовавшегося сахараи КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ) нсх в кр к M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV Q  M       . 1– 1– у мн мн мк мк в кр к  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 3 1 2 4 222 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expD D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DП Н Н КХ Н ПЗХ РЗ Н Н Н НСХdm K K K K K K K K k C CFC С C k С С C CС C k С C k С C C K                                       В  K(2)  32 2,61410 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;Т N Z                           516 ; КХ   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N 8730 31 32 ; Н exp Н ,РЗ k Q                   где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,НСХ     15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВCV CV Q TQ              П C , Н C 9,025630,9882 ZT Z N        2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5) 13 11,47850,99512,15 10 ;к Нк НZT Z N     (6)определяется через удельнуюмассовую скорость кристаллизации K, равнуюН C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,13 Ш мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М        . 1– 1 1– у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M    . 1– мк мк в кр к  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K  K            122 1 1 1 1exp 6,45 23 1 2 4 23 6 3 7exp/ expexp exp expКХ ЗХ РЗ НСХ В DН КХ Н ПРЗ Н Н Н НСХK K K K K k C CC k С С C CС C k С C C K                            В  K(2)  32,61412 2 13 1,788 0,6832 Н / ;Т N Z               18 exp , П П  QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N832 exp Н ,          где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,НСХ    1,850,27007 1 1 5,31 . CV CV Q T         П C , Н C     2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                    (5)0,9951Nв кг/(м2·с), с использованием базовыхсоотношений между размером кристалла, его массойи площадью [8, 18].Для определения расчетных формул удельноймассовой скорости роста одиночного кристаллаKкр и безразмерной относительной скоростикристаллизации множества кристаллов Kотн ихэкспериментальные значения были обработаны наЭВМ с помощью методов нелинейного програм-мирования: наименьших квадратов, штрафныхфункций, генетического алгоритма и способаконфигураций Хука-Дживса [5, 8, 16]. Припоиске коэффициентов математических моделейминимизировался квадратичный критерий:2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q  M  M CV Q  M    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  1– у у М  СV в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K2 2 2 exp КР D П КХ K dm d Fk C k С       где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;1 Dk      2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     1 КХ k        (12)где L – количество экспериментальных данных;2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q M  CV Q  M   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  1– у М  в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас ,эксi i K K2 2 КР D КХ K k k     где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;1 Dk2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 273,15П П НDk T Q СV Т                     2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ V V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M    1– 1 у у у мн мн М СV  Q  M CV    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K           121 2 1 2 exp 6,45 2 2 3 1 22 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ D П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ K dm K K K K K K K K d Fk C C С C k С С k С C k С C k С                                  где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  2 141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / DТ N kZ                          2 4T Т        − соответственно расчетное и экспериментальноеТаблица 1. Экспериментальные значения безразмернойотносительной скорости роста сахарных кристалловв зависимости от их концентрациии среднего размера [35, 36]Table 1. Experimental values of the dimensionless relativegrowth rate of sugar crystals depending on their concentrationand average size [35, 36]ОтносительнаяскоростькристаллизацииСредний размеркристалла, ммМассоваяконцентрациякристаллов, %1 2 30,714286 1,50 200,496774 1,00 200,41600 0,50 200,336406 0,25 200,543779 1,50 300,344999 1,00 300,304148 0,50 300,230415 0,25 300,382489 1,50 400,247926 1,00 400,216590 0,50 400,152074 0,25 400,271889 1,50 500,184332 1,00 500,158525 0,50 500,110599 0,25 501,000000 1,50 50,751152 1,00 50,646001 0,50 50,554999 0,25 50,884793 1,50 100,668203 1,00 100,565000 0,50 100,470999 0,25 100,183410 1,50 600,147465 1,00 600,137999 0,50 600,098618 0,25 6045Арапов Д. В. [и др.] Техника и технология пищевых производств. 2021. Т. 51. № 1 С. 39–52значение удельной массовой скорости кристал-лизации (или безразмерной относительнойскорости роста множества кристаллов); A – векторкоэффициентов математической модели.Согласно критерию (12) на основе обширныхэкспериментов, проведенных в СССР идругих странах, нами разработана аддитивнаяматематическая модель кристаллизации, имеющаявероятностный характер.Модель состоит из восьми слагаемых:( ) ( ) n kHCX HOH (1) о K , р KnР Н C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    КР D П Н Р П K dm k С С k С Сd F      / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. . ( ) мн кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  . мк мк нсх кр к CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M   M кр K  K  2min, Арас , эксi i K K                121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2)П Н С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                             2 42 9,80665 ;273,15П П ННТ         51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T   N   86 0,75 2 726 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T T k Q                              где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н           130,0275exp 0,3761 exp/НСХ N N N NN  T        15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 21,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z Z ZZ T T Z N             2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5)   22 13 10 2,6131,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951exp 0,04857 10 2,15 10 ;2,15 10к Нк Н к Нк Н к НZ T ZT Z NNN                    (6)   4 2 2 21,09 4,022252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg/ .кN t N t N t N tt Z              об 2 3 9 10 12  4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;об кр кр кр кр кр об кр кр  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)     8 1,775 310 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10t t CV t             м  кр  кр l( ) ( ) n kHCX HOH (1) о K , р KnР Н C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. . ( ) кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  . мк мк нсх кр к CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр K  K 2min, Арас , эксi i K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2)П Н С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                         2 42 9,80665 ;273,15П П ННТ         51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T   N   86 0,75 2 726 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T T k Q                             где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1       130,0275exp 0,3761 exp/НСХ N N NN  T        15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 21,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z Z ZZ T T Z N            2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5)   213 10 2,6131,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951exp 0,04857 10 2,15 10 ;2,15 10к Нк Н к Нк Н к НT ZT Z NNN                    (6)   4 2 2 2 21,09 4,022lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg/ .кN t N t N t N tZ             об 2 3 9 10 12  4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;об кр кр кр кр кр об кр кр  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)     8 1,775 310 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10t t CV t             м  кр  кр l2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :эквl d   . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M     1– 1– у у мн мн М  СV  M  CV в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K    1 2 2 2 22 2 5 2 exp exp exp КР D D D П П Н КХ K dm K K K d Fk C C С k С C                  где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;2 1 10 11 Н Н Dk               2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDk T Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т 2 КХ k        2,5 6 0,75 724 24 25 26 27 28 29 30 31 exp 1 ; ЗХ РЗ k Q T T T k Q                         , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T            15 0,1757875 10 ВK Q      22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N                    22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10Н к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z Z NT Z N N                                  2 4 2 2 2 5 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N t N t Z                        2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a         8 1,775 1,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 1 0,01 ;CV t t CV CV CV                    ) ( ) n kHOH (1) о K , р KnН , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг /  м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. . ( ) кр н мк мк мк нсх в кр к  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  . мк нсх кр к  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн  K Kmin,Арас , эксi i K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2)Н С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           2 42 9,80665 ;П П НН         51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N   80,75 2 726 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T T k Q                            где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,     130,02750,3761 exp/НСХ N N N T       15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ             П C , Н C 21,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z ZZ T T Z N           2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5)   213 10 2,6131,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951exp 0,04857 10 2,15 10 ;2,15 10к Нк Нк Н к НT ZT Z NNN                (6)   4 2 2 2 24,0220, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg.кt N t N t N tZ            об 2 3 9 10 12  5 6 7 8 11 13 a a a / ;кр кр кр кр кр об кр кр   a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t   (10)    1,775 34 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10t t CV t           м  кр  кр l(13)где2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн у кр М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M     1– 1 у у у мн мн мн М СV  Q  M CV  Q   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K            121 2 1 2 1 exp 6,45 2 2 3 1 22 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н K dm K K K K K K K K k d Fk C C С C k С С C k С C k С C k С                                     где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                    51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k  QR  R  exp П RQ     82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,ЗХ РЗ k Q T T T k Q                                      где 1 2 , D D K K , , 1 8  ,...,       11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T                15 0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 ВK CV CV Q Q             22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N                2 314,578 exp 1,0509 Z T Z N                    22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                               (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                           об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9)         8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CV                     м  кр  кр l( ) ( ) ( ) m n k CX HCX HOH (1) о K , р K nКХ Р Н  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V   КР D П Н Р K dm k С С k d F      моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. . ( ) мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к CV Q M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  . . кр н мк мк нсх кр к  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M K  2min,расiэксiKK АAрас , эксi i K                121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C С С C Ck С C k С C k С C C K                                          В  K(2)2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ; 32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           2 42 9,80665 ;273,15П П ННQ СV Т           51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   19 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T      86 0,75 2 725 26 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ Q T T T k Q                                 где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C        11 130,027510 exp 0,3761 expexp /НСХ N N N NN N  T           15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 221,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z Z ZZ T T Z N               2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 1,0509 2,15 10Z NT Z N N                         22 13 10 2,6130,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к Нк Н к Нк Н к НZ T ZT Z NNN N                        (6)    4 2 2 2 21,09 4,0220, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg438 / .кN t N t N t N tN t Z               об 3 2 3 9 10 12  3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;об об кр кр кр кр кр об кр кр  a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)    8 1,775 31,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10t t CV t               м  кр  кр l(14)2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2 . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M  1– у у М СV  Q   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M      1– 1– 1– у у мн мн мк мк М  СV  M  CV  M  CV в кг /  м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K      11 2 1 2 2 2 3 22 2 5 2 3 exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ D П П Н Н КХ ЗХ K dm K K K K K d Fk C C С C k k С C k С                        где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;2 1 10 11 12 2 13 Н Н Н Dk                      2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т 2 17 exp КХ П k   QR       82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 exp 1 ; Н exp ЗХ РЗ k Q T T T k Q                                     , 1 8  ,...,       11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T             15 0,1757875 10 1 0,27007 ВK CV Q         22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N              314,578 T            22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                               (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                         2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8) обм            8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CV                       м  (15)о K , р KКХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,П НН , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ( ) мк мк нсх в кр к CV Q  M  M  M        . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M . нсх кр к         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K, эксi K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2)1,5 П Н С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           4;П НН      51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N  82 728 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T k Q                       где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,..., 13expНСХ N N     15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 211636,2711 9,025630,9882 ZT T Z N          2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                    (5) 213 10 2,61313780,2866Z / 11,47850,995110 2,15 10 ;2,15 10к Нк Нк НT ZT Z NNN            (6) 4 2 2 2 210 0,144 10 0,0376 lgN t N t N t          об 3 9 10 12  7 8 11 13 a a a / ;кр кр об кр кр  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)  315,6377 0,006 1,58951 1,025 10t CV t        м  кр  кр l(16)2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ; nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин.. . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M   1– у у у М СV  Q  M   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M        1– 1– 1– у у мн мн мк мк М  СV  M  CV  M  CV  в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K       11 2 1 2 2 2 3 1 22 2 5 2 3 6 exp exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ D П П Н Н КХ КХ ЗХ K dm K K K K K K d Fk C C С C k k С C k С                              где 1 П 8 Н C  С  ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н  С С ;2 1 10 11 12 2 13 1,788 НН Н DТ k                      2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т  2 17 18 exp КХ П k   QR       82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp ЗХ РЗ k Q T T T k Q                                      , 1 8  ,...,       11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T             15 0,1757875 10 1 0,27007 ВK CV Q         22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N               314,578 1,0509 T Z             22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                               (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                           об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)  м обм кр              8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CV                       м  кр  ( ) ( ) ( ) m n k CX HCX HOH (1) о K , р K nКХ Р Н  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V   КР D П Н Р K dm k С С k d F      Н С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. . ( ) мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к CV Q M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  . . кр н мк мк нсх кр к M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M   2min,расiэксiKK АAрас , эксi i K K                121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C K                                             В  K(2)2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           2 42 9,80665 ;273,15П П ННQ СV Т           51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   19 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T      86 0,75 2 725 26 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ Q T T T k Q                                 где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , C        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 exp0,3761 exp /НСХ N N N NN N  T            15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 221,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z Z ZZ T T Z N               2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     22 13 10 2,6130,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к Нк Н к Нк Н к НZ T ZT Z NNN N                        (6)   4 2 2 2 21,09 4,0220, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg438 / .кt N t N t N t N tN t Z               об 3 2 3 9 10 12  3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;об об кр кр кр кр кр об кр кр   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)     8 1,775 30,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10t t CV t               м  кр  кр l(17)гдекг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М  М М М  М       . 1– 1 1– у мн мн мн мк мк мк нсх кр к  Q  M CV  Q  M CV  Q  M   . 1– мк в кр к CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм  нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K            121 1 1 1exp 6,45 21 2 4 26 3 7exp/ expexp exp expКХ ЗХ РЗ НСХ В DКХ Н ПРЗ Н Н Н НСХK K K K k C Ck С С C CC k С C C K                            В  K(2)  32,61413 1,788 0,6832 / ;Т N Z           18 exp , П П  R  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N32 exp Н ,      где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,НСХ   1,850,27007 1 1 5,31 . CV CV Q T        П C , Н C     2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                    (5)N(6)tоб   ;100м крм кр м      9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)м  кр  кр l− основныекомпоненты модели, отображающие отложениесахара (диффузионная (два слагаемых), реакционнаякристаллохимическая (две составляющих)),непосредственного захвата частичек сахара ираспада промежуточных соединений, состоящих изсахарозы, несахаров и воды;n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М      . 1 1– мн мн мн мк мк мк нсх кр к  M CV  Q  M CV  Q  M   . мк в кр к  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K         21 1 1 1exp 6,45 21 2 4 26 3 7exp/ expexp expРЗ НСХ В DКХ Н ПРЗ Н Н Н НСХK K K k C CС С C CC k С C C K                     В  K(2)  32,6141,788 0,6832 / ;Т N Z         18 , П   R   3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N32 Н ,   где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,НСХ    1,850,27007 1 1 5,31 . CV Q T       П C , Н C    2 13 10 2,613exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z Z N N                 (5)6)об   ;100м кркр м    (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)кр  кр l− слагаемые,отображающие включение несахаров и воды всахарный кристалл; Q – чистота раствора; CV – со-держание сухих веществ; Z, N – соотношение сахар/вода и несахар/вода в пересыщенном растворесоответственно; T – абсолютная температура;Н кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,13  мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М        . 1– 1 1– у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M    . 1– мк мк в кр к  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K           122 1 1 1 1exp 6,45 21 2 4 23 6 3 7exp/ expexp exp expКХ ЗХ РЗ НСХ В DН КХ Н ПРЗ Н Н Н НСХK K K K K k C CC k С С C CС C k С C C K                            В K(2)  32,6142 13 1,788 0,6832 Н / ;Т N Z               18 exp , П П  QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N832 exp Н ,          где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,НСХ    1,850,27007 1 1 5,31 . CV CV Q T        П C , Н C    2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                    (5)0,9951N(6) lgtоб   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)3t  м  кр  кр l,   2D П Н Р П НС С k С С  ,мк М  . нсх кр к  M нсх в кр.к M  M кр отн K  K KНСХВ  K(2)  0,2322 23 / / ;  Q T   N, НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,НСХ 13 132,15 10 ;2,15 10N       (5);(10)– термодинамические активности пересыщенногои насыщенного раствора;м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V     мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ( ) нсх в кр к  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M        . 1– 1– 1– у мн мн мк мк в кр к СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХdm K K K K K K K K k C Cd FC C С C k С С C CС C k С C k С C C K                                          В  K(2)  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           4;  51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R    Q  Q  Q T   N  82 730 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T k Q                    где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,13    15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 9,025630,9882 ZT Z N       2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5) 213 13/ 11,47850,99512,15 10 ;2,15 10к ННк НT ZT Z NN         (6) 2 2 20,144 10 0,0376 lgN t N t       об 9 10 12  11 13 a a a / ;кр об кр кр l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)  30,006 1,58951 1,025 10t CV t       м  кр  кр l– коэффициентнасыщения; 1 32 β ,...,β , 1 8 α ,...,α − регрессионныепараметры.Двойные слагаемые в диффузионной икристаллохимической составляющих моделиобъясняются установленными фактами изменениядиффузионного переноса вещества по поверхностиграни и зависимости константы скоростикристаллохимической реакции от вида грани.Включение несахаров в сахарный кристаллописано случайным законом распределения Пуассонаи зависит от температуры, динамической вязкости иотношения несахара к воде [5]:2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн у М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M    1– 1 у у у мн мн мн М СV  Q  M CV  Q   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K            121 2 1 2 exp 6,45 2 2 3 1 22 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н K dm K K K K K K K K k d Fk C C С C k С С k С C k С C k С                                     где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  2 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / DТ N kZ                           2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   Q R  R exp П R        82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,ЗХ РЗ k Q T T T k Q                                      где 1 2 , D D K K , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T                15 0,1757875 10 1 0,27007 1 1 ВK CV CV Q Q             22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N                2 314,578 exp 1,0509 Z T Z N                    22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                              (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                          об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9)        8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CVtCV CV                       м  кр  кр l2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;   nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q M  M CV Q  M    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  1– у у М  СV в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K2 2 2 exp КР D П КХ K dm d Fk C k С       где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;1 Dk      2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     1 КХ k      2,5 6 0,75 2 24 24 25 26 27 28 29 30 exp 1 ЗХ k Q T T T                      , 1 8  ,...,       11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T           ВK  22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563ПC Z Z Z Z T                   22 10 2,6exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / Z 187,1981 exp 0,04857 10 2,15 0,9929 2,15 10Н к Н к Н к Нк Н к Нк нC Z Z T Z NT Z N                              2 4 2 5 2 2 1,09 4,0221 0,9171 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N t Z                     2 3 2 3 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a a отн об об об об кр кр кр кр кр об K  a  a  a   a a  l  a l  a l  a l  a l   a        8 1,775 1,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1 0,01 ;CV t t CV CV                   (18)Рост кристалла за счет включения воды зависит от чистоты раствора, содержания сухих веществ, абсолютнойтемпературы, динамической вязкости и описывается формулой:( ) ( ) m n kHCX HOH (1) о K , р KnР Н C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    КР D П Н Р П K dm k С С k С Сd F    моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. . ( ) мн кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  . мк мк нсх кр к M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр K  K  2min, АAрас , эксi i K K                 121 2 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2)П Н  С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                        2 42 9,80665 ;273,15П П ННТ         51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / П R    Q  Q  Q T   N   86 0,75 2 726 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T T k Q                               где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н          130,0275exp 0,3761 expexp /N N N NN  T        15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 21,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z Z ZZ T T Z N            2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5)   22 13 10 2,6131,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951exp 0,04857 10 2,15 10 ;2,15 10к Нк Н к Нк Н к НZ T ZT Z NNN                    (6)   4 2 2 2 21,09 4,022252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg/ .кN t N t N t N tt Z              об 2 3 9 10 12  4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;об кр кр кр кр кр об кр кр  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)     8 1,775 310 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10t t CV t                l(19)По формулам (18) и (19) можно установить количество примесей (несахаров и воды), встроившихся вкристаллическую фазу из поликомпонентного раствора.Концентрации (термодинамические)V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F    ,16 3 ШэквV     мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. кр к         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M     . 1– мн мк мк в кр к CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M M кр отн K  K K             121 2 1 1 1 1exp 6,45 23 1 2 4 223 6 7expexp / expexp exp expКХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DН Н КХ Н ПЗХ РЗ Н Н Н НСХK K K K K K k C CC k С С C Ck С C k С C C K                                 В  K(2)  32,61412 2 13 1,788 0,6832 Н Н / ;Т NZ                    2 17 18 exp , КХ П П   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R    Q  Q  Q T   N832 Н exp Н ,Q               где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,    15 1,8510 1 0,27007 1 1 5,31 . CV CV Q T           П C , Н CN      2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5)0,9951к ННZN (6) 20,0376 lgN t  об и коэффициент насыщения определяются на основе следующихзависимостей [38]:2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q  M  M CV Q  M  M  M   1– у у у мн М СV  Q  M CV   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр М  СV  M  CV  M  CV  M в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K         121 2 1 2 2 2 3 1 22 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ D П П Н Н КХ Н КХ ЗХ K dm K K K K K K K d Fk C C С C k С С k С C k С C                                 где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ; 2 141 10 11 12 2 13 1,788 Н Н Н / DТ kZ                         2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                    51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R       82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,ЗХ РЗ k Q T T T k Q                                      где , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T              15 0,1757875 10 1 0,27007 1 ВK CV CV Q           22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N               314,578 1,0509 Z T Z N              22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                               (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                           об   р Kкг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F    ,Н, где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ( ) мк нсх в кр к Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M       . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2)Н С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           4;Н   51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R    Q  Q  Q T   N  82 729 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T k Q                      где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,..., 13N    15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 29,025630,9882 Z ZT T Z N         2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                    (5) 213 10 2,61313780,2866Z / 11,47850,99512,15 10 ;2,15 10к Нк Нк НT ZT Z NN           (6) 2 2 2 20,144 10 0,0376 lgt N t N t        (20)46Arapov D.V. et al. Food Processing: Techniques and Technology, 2021, vol. 51, no. 1, pp. 39–52   , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T                15 0,1757875 10 1 0,27007 1 1 ВK CV CV Q             22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N                2 314,578 1,0509 Z T Z N                 22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                               (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                           об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м              8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CV                       м  кр  кр l    , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T             15 0,1757875 10 1 0,27007 ВK CV Q         22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N               314,578 1,0509 Z T Z             22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                               (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t t N N t N t Z                        об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a     a  l  a l  a l  a l    a l l  a (8)  100м обм кр              8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CV                      м  кр  (21) 1 8 11 130,0275НСХ  15 В  22П 2 22 13 10 2,613к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк н2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,022Нк   об 2 3 2 3 9 10 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр l м крм кр м8 1,775 31,03t   м кр кр  , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N NN N  T             15 0,1757875 10 1 ВK Q       22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N             314,578         22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z Z NT Z N N                                 2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N tN N t N t Z                         2 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр обкр кр K  a  a  a   a  l  a l  a l  a l  a l l  a (8)         8 1,775 1,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t CV CV CV                    (22)где t – температура, °C; Zк – отношение сахара к водев состоянии насыщения в чистом растворе.Математическая модель (13)–(22) позволяетрассчитать скорость роста твердой фазы как приизобарической испарительной кристаллизациив вакуум-аппаратах, так и при политемическойкристаллизации в вертикальных и горизонтальныхкристаллизаторах. Среднеквадратичное отклонениемодели от экспериментальных значений составляет± 11,3 %. Это почти в два раза точнее обобщенияИ. С. Скрипко и В. А. Трегуба: примерно 100 опытовпо кристаллизации сахарозы, ошибка которого равна± 20 % [39].На рисунке 2 показаны графические зависимостискорости роста твердой фазы при температурах50 и 70 °С рассчитанные по модели (13)–(22).От содержания СВ зависимость экстремальна, суменьшением чистоты раствора скорость роста резкопадает.Объемная концентрация кристаллов в утфельноймассе достигает 50 %. Кристаллы находятсяв стесненном состоянии, они сталкиваются,разрушаются, трутся, слепляются и, в зависимостиот локального пересыщения, могут частичнорастворяться. «Стесненный» рост кристалловосуществляется намного медленнее, чем рост присвободной кристаллизации единичного кристалла.Поэтому при расчете массовой кристаллизациисахарного песка с использованием модели (13)–(22)необходимо ввести поправку на стесненностькристаллов, которая учитывается математическойзависимостью относительной скорости кристал-лизации от среднего размера кристаллов и ихобъемного содержания. . ( ) у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M      1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q   . . у мн мн кр н мк мк нсх кр к СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм  M м2 с 211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K                121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н K dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C                                              1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           2 415 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П ННT Q СV Т                    51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 19 20 21 exp П R    Q  Q       82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,РЗ Q T T T k Q                                     где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T                15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C  22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z Z Z ZZ T T Z N                  2 10 314,578 exp 0,0486 10 1,0509 Z NT Z N                      22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к Нк Н к Н к Нк Н к Нк Нк нZ Z T ZT Z NZ NT Z N N                             (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg4028 10 0, 438 / .кN t N t N t N t N tN t N t Z                       об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;об об об об кр кр кр кр кр об кр кр  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 1 1,1 10 кр t          8 1,775 31,030,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 100,01 ;CV t t CV tCV CV                   м  кр  кр l:. . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M   1– у у у мн М СV  Q  M CV   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         1– 1– 1– у у мн мн мк мк в М  СV  M  CV  M  CV  M в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K         121 2 1 2 2 3 1 22 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ D П П Н Н КХ Н КХ ЗХ K dm K K K K K K K d Fk C C С C k С С k С C k С C                                где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ; 2 1 10 11 12 2 13 1,788 Н Н Н / DТ k                         2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp КХ П П k   QR  R       82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,ЗХ РЗ k Q T T T k Q                                      где , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T            15 0,1757875 10 1 0,27007 1 ВK CV CV Q           22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N               314,578 1,0509 Z T Z             22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                               (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                           об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)  100м кробм кр               8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CV                       м  кр  кр l(23)2НAr    , где П  , Н  Ш V :эквl d     мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. . ( ) кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q M CV  Q  M  . мк нсх кр к CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K Kmin,Арас , эксi i K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                             В  K(2)Н С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                          2 42 9,80665 ;273,15П П НН         51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N   80,75 2 726 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T T k Q                             где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1  ,...,      130,0275exp 0,3761 exp/НСХ N N N T       15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 21,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z ZZ T T Z N           2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5)   213 10 2,6131,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951exp 0,04857 10 2,15 10 ;2,15 10к НН к Нк Н к НT ZT Z NNN                (6)   4 2 2 2 24,022lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg/ .кt N t N t N tZ            об 2 3 9 10 12  5 6 7 8 11 13 a a a / ;об кр кр кр кр кр об кр кр  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)     1,775 34 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10t t CV t            м  кр  кр l(24)D и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    КР D П Н Р П НK k С С k С Сd F ,, Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ) нсх в кр к M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M       . 1– 1– у мн мн мк мк в кр к СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K                121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 3 1 2 4 222 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expD D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DП Н Н КХ Н ПЗХ РЗ Н Н Н НСХdm K K K K K K K K k C CFC С C k С С C CС C k С C k С C C K                                        В  K(2)  32 2,61410 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;Т N Z                           516 ; КХ   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N8730 31 32 ; Н exp Н ,РЗ k Q                   где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,НСХ     15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 9,025630,9882 ZT Z N        2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5) 213 1311,47850,99512,15 10 ;2,15 10к Нк НZT Z NN        (6) 2 2 210 0,0376 lgN t N t      об 12  11 13 a / ;кр кр   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10) 31,58951 1,025 10CV t      м  кр  кр l(25)( ) ( ) ( ) ( )( )8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CVρ = − ⋅  + ⋅ − ⋅ −  + − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ×× − ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) ( ( )8 1,775 1,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1 0,01 ;CV t t CV CV CVρ = − ⋅  + ⋅ − ⋅ −  + − ⋅ ⋅ − × − ⋅ ⋅ (26)где2 ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ V V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . ( ) у у у мн мн кр н мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q   M  M    1– 1 у у у мн мн М СV  Q  M CV    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K           121 2 1 2 exp 6,45 2 2 3 1 22 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ D П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ K dm K K K K K K K d Fk C C С C k С С k С C k С C k С                                где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ; 2 141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / DТ N kZ                         2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R ПR       82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,ЗХ РЗ k Q T T k Q                                    где 1 D K , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T                15 0,1757875 10 1 0,27007 1 1 ВK CV CV Q             22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N                2 314,578 1,0509 Z T Z N                 22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                               (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                           об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр об кр кр K  a    a   a  a      a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м              8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CV                       м  кр  кр l– относительная скорость роста,учитывающая стесненность кристаллов, доли ед.;Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,16 3 ШV     мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М        . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M     . 1– мк мк в кр к   CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм  нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K             121 2 1 1 1 1exp 6,45 23 1 2 4 23 6 3 7expexp / expexp exp expКХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DН КХ Н ПЗХ РЗ Н Н Н НСХK K K K K k C CC k С С C Ck С C k С C C K                              В  K(2)  32,61412 2 13 1,788 0,6832 Н / ;Т N Z                  17 18 exp , П П   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N832 Н exp Н ,             где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,НСХ     15 1,851 0,27007 1 1 5,31 . CV CV Q T          П C , Н C     2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                    (5)0,9951к НN(6) 20,0376 lgN t  об (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)31,025 10t   м  кр  кр – масlсо вая концентрация твердой фазы, %;) kHOH (1) о K , р K, где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,2 32g П П ННl      , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ( ) мк мк мк нсх в кр к  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M  . нсх кр к  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K Kmin,рас , эксi i K K                121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                         В  K(2); 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           2 42 9,80665 ;П П НН        51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N   80,75 2 727 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T T k Q                          где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,   130,02750,3761 exp/НСХ N NT       15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 21,1107 11636,2711 9,025630,9882 Z ZT T Z N           2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5)  213 10 2,6131,0016 13780,2866Z / 11,47850,99510,04857 10 2,15 10 ;2,15 10к Нк НН к НT ZT Z NNN               (6) 4 2 2 2 24,0220, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg.N t N t N t            об 2 3 9 10 12  5 6 7 8 11 13 a a a / ;кр кр кр кр об кр кр  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)    1,775 34 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10t CV t          м  кр  кр , lρ – плотность твердой и жидкой фазы, кг/м3;CV – концентрация СВ в жидкой фазе, %. Модель (23)работоспособна при:; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ) нсх в кр к M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M       . 1– 1– 1– у мн мн мк мк в кр к СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн  K K                 121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 3 1 2 4 222 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expD D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DП П Н Н КХ Н ПЗХ РЗ Н Н Н НСХdm K K K K K K K K k C Cd FC C С C k С С C CС C k С C k С C C K                                         В  K(2)  32 2,61410 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N Z                           ; 51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N 8730 31 32 ; Н exp Н ,РЗ k Q                     где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,НСХ      15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 9,025630,9882 ZT Z N       2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5) 213 13/ 11,47850,99512,15 10 ;2,15 10к Нк НT ZT Z NN        (6) 2 2 20,144 10 0,0376 lgN t N t      об 10 12  11 13 a a / ;об кр кр   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)  31,58951 1,025 10t CV t       м  кр  кр = 5–6l0 м асс. %;о K , р KКХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2КР D П Н Р П НK dm k С С k С Сd F      ,П НН , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М. ( ) мк мк нсх в кр к Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M . кр к         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M M  M кр отн K  K Kэксi K               121 2 1 2 1 1 1 1exp 6,45 22 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХK dm K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C K                                           В  K(2)П Н С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           4;П НН     51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,2319 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q Q T   N  82 728 29 30 31 32 ; Н exp Н ,РЗ T T k Q                    где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,..., 13expНСХ N     15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C , Н C 211636,2711 9,025630,9882 Z ZT T Z N          2 13 10 2,613314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;1,0509 2,15 10Z NT Z N N                     (5) 213 10 2,61313780,2866Z / 11,47850,995110 2,15 10 ;2,15 10к Нк Нк НT ZT Z NN            (6) 4 2 2 2 20,144 10 0,0376 lgN t N t N t          об 3 9 10 12  7 8 11 13 a a a / ;кр кр об кр кр  l  a l  l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 4  1589,7 ;1 1,1 10 15 кр t    (10)  315,6377 0,006 1,58951 1,025 10t CV t        м  кр  кр l = 0,25–1,50 мм; ее среднеквадратичное отклонение равно± 1,3 %. Количество использованных для построениямодели (23) (табл. 1) экспериментов равно 28.Формулы (24)–(26) позволяют пересчитать вобъемную массовую концентрацию твердой фазы [3,8, 40, 41].Коэффициенты модели (23) равны:a0 = 0,18822524; a1 = 1,4168116; a2 = 0,61027645;a3 = 0,62882917; a4 = 0,32209431; a5 = 0,29126081;a6 = 0,29813377; a7 = 0,21398706; a8 = 0,015677561;a9 = 7,5; a10 = 0,62516922; a11 = 0,66918776;a12 = 0,37433054; a13 = 2,0826152.Формулы (23)–(26) служат для пересчетаскорости роста свободного монокристалла (формулы(13)–(22)) в удельную скорость роста стесненногоколлектива кристаллов, средний размер которых2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн у кр М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M     1– 1 у у у мн мн мн М СV  Q  M CV  Q   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K            121 2 1 2 1 exp 6,45 2 2 3 1 22 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н K dm K K K K K K K K k d Fk C C С C k С С C k С C k С C k С                                     где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  exp П R       82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,ЗХ РЗ k Q T T T k Q                                      где 1 2 , D D K K , , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T               15 0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 ВK CV CV Q Q             22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПC Z Z Z ZZ T T Z N                2 314,578 exp 1,0509 Z T Z N                    22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нC Z Z T ZT Z NZ NT Z N N                               (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                           об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9)         8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CV                       м  кр  кр l ,а концентрация в утфеле2 ( ) ( ) ( ) oрKK m n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V КР K dm d  где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  , Н  Ш V :16 3 Шэквl d V      мг / м2  мин. Kотн . у кр н мн кр М М М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M      1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк М СV  Q  M CV  Q  M CV    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M       . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K                 121 2 1 2 1 1 1 exp 6,45 2 2 3 1 2 4 222 2 5 2 3 6 3 7expexp exp / expexp exp exp expКР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В DD П П Н Н КХ Н ПКХ ЗХ РЗ Н Н K dm K K K K K K K K k C Cd Fk C C С C k С С C Ck С C k С C k С C C                                             где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;  32 2,6141 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;DТ N kZ                           2 415 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНT Q СV Т                     51 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 19 20 exp П R    Q        82,5 6 0,75 2 724 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,ЗХ РЗ Q T T T k Q                                      где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T                15 1,850,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . ВK CV CV Q TQ              П C  22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,025630,9882 ПZ Z Z ZZ T T Z N                  2 314,578 exp 0,0486 10 1,0509 Z NT Z N                     22 13 10 2,613exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785Z 0,9951187,1981 exp 0,04857 10 2,15 ;0,9929 2,15 10к НН к Н к Н к Нк Н к Нк Нк нZ Z T ZT Z NZ NT Z N N                              (6)    2 4 2 2 2 25 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg0, 4028 10 0, 438 .НкN t N t N t N t N tN t N t Z                          об 2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;100м кробм кр м      (9) 1589,7 1 1,1 10 кр             8 1,775 31,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 101 0,01 ;CV t t CV tCV CV                      м  кр  кр l об. Расчет относительнойскорости по формуле (23) существенно точнееквадратичной зависимости, используемой прирасчете стесненной кристаллизации в [25],регрессионной и предиктивной моделях [19, 28].На рисунке 3 показана 3D-зависимость величины2 ( ) ( ) ( ) oрKm n kmCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K  D D V Р V  k C C ;  nКХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг2 32g П П ННAr l       , где П  . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M  CV Q M  M CV Q  M    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  1– у М  СV в кг / м2 с  211 min,L расiэксi iKR K       АAрас , эксi i K K2 2 КР D КХ K d k C k      где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;1 Dk 2 42 15 2 16 2 exp 9,80665 ;273,15П П НDНk T Q СV Т                     k      2,5 6 0,75 2 24 24 25 26 27 28 29 exp 1 ЗХ k Q T T T                     , 1 8  ,...,        11 130,02750,1558 10 exp 0,3761 expexp 0,3761 exp /НСХ K N N N NN N  T             22exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563ПC Z Z Z Z T                  2 10 2,6exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / Z 187,1981 exp 0,04857 10 2,15 0,9929 2,15 Н к Н к Н к Нк Н к Нк нC Z Z T Z NT Z N                            2 4 2 5 2 2 1,09 4,0221 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 0, 4028 10 0, 438 / .НкN t N t N t N t N t Z                     2 3 2 3 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a a отн об об об об кр кр кр кр кр об K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l        8 1,775 1,031 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1 0,01 ;CV t t CV CV                 от размера и концентрации кристаллов.На обоих графиках массовая концентрациякристаллов изменяется от 5 до 60 %. Анализграфических зависимостей (рис. 3) относительнойскорости роста показывает, что влияниемассового содержания кристаллов, по сравнениюс их объемной концентрацией, выражено болееконтрастно.47Арапов Д. В. [и др.] Техника и технология пищевых производств. 2021. Т. 51. № 1 С. 39–52Результаты имитационного моделированияпроцесса политермической кристаллизации сахарас использованием разработанной математическоймодели показаны на рисунках 4 и 5. На графикахотображены изменения величины среднеголинейного размера сахарных кристаллов иприращения кристаллической массы в процессеполитермической кристаллизации без учета (рис. 4) ис учетом стесненности кристаллов (рис. 5).При учете стесненности кристаллов приросттвердой фазы за время политермическойкристаллизации, которое равно 20 ч, уменьшаетсяна 3 тонны желтого сахара, по сравнению снестесненной кристаллизацией, а средний размеркристалла уменьшается на 14,7 %.Рисунок 2. Графики зависимости скорости кристаллизации от содержания сухих веществи доброкачественности раствора при температуре 50 и 70 °СFigure 2. Effect of solids content and solution quality on the crystallization rate at 50 and 70°CКкр, гр/(м2·ч)Рисунок 3. Графики зависимости относительной скорости кристаллизацииот среднего размера кристалла и концентрации (объемной и массовой) кристалловFigure 3. Effect of the average crystal size and concentration (volume and mass) on the relative crystallization rateРисунок 4. Результаты моделирования не стесненной кристаллизацииFigure 4. Models of unconstrained crystallizationКкр, гр/(м2·ч)48Arapov D.V. et al. Food Processing: Techniques and Technology, 2021, vol. 51, no. 1, pp. 39–52ВыводыУточнены уравнения материального балансакристаллизационного аппарата, учитывающиевключение несахаров и воды в твердую фазу.Получено на базе многочисленных экспериментовобобщенное математическое выражение для расчетаудельной массовой скорости роста сахарногомонокристалла, разработанное с использованиемположений теории вероятности на основе физико-химических закономерностей процесса [42, 43].Модель позволяет оценить количество несахарови воды, захватываемых кристаллом в процессероста. Относительная погрешность модели равна± 11,3 %. Она позволяет в два раза точнее описатьпроцесс кристаллизации сахарозы, чем известноеобобщение [39].Разработана корректирующая поправка,позволяющая с высокой точностью (ошибка ± 1,3 %)пересчитать скорость роста одиночного кристалласахара, измеряемую в ед. массы/ед. площади/ед.времени, в скорость роста множества кристаллов прииспарительной изобарической и политермическоймассовой кристаллизации в промышленных условиях.Таким образом, создана обобщенная вероятностнаяматематическая модель (13)–(26) для описанияудельной скорости роста кристаллов при массовойкристаллизации сахарозы, которая может бытьиспользована при имитационном моделированиипроцесса, его исследовании и для оптимальногоуправления в промышленном производстве.Идентификация модели может быть реализованаподстройкой коэффициента 0 a в формуле (23).Критерии авторстваАвторы в равной степени участвовали вподготовке и написании статьи.Конфликт интересовАвторы заявляют об отсутствии конфликтаинтересов.ContributionAll the authors contributed equally to the study andbear equal responsibility for information published in thisarticle.Conflict of interestThe authors declare that there is no conflict ofinterests regarding the publication of this article.